Gleichungen lösen

Trigonometrische Gleichungen lösen

Trigonometrische Gleichungen lösenInhalt

In trigonometrischen Gleichungen kommen die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus oder Tangens vor. In diesem Video-Tutorial lernst du, wie du solche Gleichungen löst.

Was sind trigonometrische Gleichungen?

In trigonometrischen Gleichungen kommen die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus oder Tangens vor.

Was muss ich über die Winkelfunktionen wissen?

Von allen 3 Winkelfunktionen solltest du die Periode und die Nullstellen wissen. Außerdem solltest du die Graphen skizzieren können. Bei Sinus und Kosinus solltest du außerdem den Wertebereich und beim Tangens den Definitionsbereich kennen. All das zeige ich dir in den folgenden 3 Videos.

Die Sinusfunktion

Die Kosinusfunktion

Die Tangensfunktion

Wie lese ich eine Wertetabelle?

In jeder Formelsammlung ist eine Wertetabelle der Winkelfunktionen abgedruckt. Darin findest du die wichtigsten Werte der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion. In diesem Video zeige ich dir, wie du die Wertetabelle richtig liest und dazu benutzen kannst, Gleichungen zu lösen.

Kannst du mir den Einheitskreis erklären?

Hast du auch nichts kapiert, als dein Lehrer versucht hat, dir den Einheitskreis zu erklären? Dann ist dieses Video für dich!

Die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion lassen sich auf verblüffende Weise am Einheitskreis veranschaulichen. Genau wie am Graphen, lassen sich allerdings nur wenige Werte exakt ablesen, weshalb der Einheitskreis meist nicht ausreicht, um eine Aufgabe zu lösen.

Gerade für visuelle Menschen, die sich nicht so gerne Formeln merken, ist der Einheitskreis aber sehr nützlich, um die zweite Lösung einer Gleichung zu bestimmen, die der Taschenrechner nicht anzeigt.

Wie löse ich eine trigonometrische Gleichung?

Bei trigonometrischen Gleichungen gibt es 4 Typen, die du kennen musst. Für jeden Typ gibt es den passenden Lösungsansatz. In diesem Video stelle ich dir die 4 Typen und die passenden Lösungsansätze vor. In den folgenden Abschnitten rechne ich dir die Beispiele vor.

Trigonometrische Gleichungen lösen mit der Umkehrfunktion (Typ 1)

Kommt nur einmal \sin x, \cos x oder \tan x vor, löst du die Gleichung mit der entsprechenden Umkehrfunktion. Wie das geht, zeige ich dir in diesem Video.

Trigonometrische Gleichungen lösen durch Substitution (Typ 2)

Ist das Argument der Winkelfunktion nicht nur x, sondern z.B. \frac{1}{2}x, benötigst du eine Substitution. Dadurch erhältst du eine Gleichung vom Typ 1, die du mit der Umkehrfunktion lösen kannst.

Um die Lösungen der Ausgangsgleichung zu bestimmen, musst du die Substitution zum Schluss allerdings wieder rückgängig machen (Rücksubstitution).

Außerdem ist meist die Periode anders. Um weitere Lösungen anzugeben, musst du also erst noch die Periode bestimmen.

In diesem Video zeige ich dir, wie du das alles hinbekommst!

Trigonometrische Gleichungen lösen durch Substitution und die pq-Formel / abc-Formel / Mitternachtsformel (Typ 3)

Manche trigonometrische Gleichungen lassen sich durch eine geschickte Substitution in eine quadratische Gleichung umwandeln, die du anschließend mit der pq-Formel bzw. der abc-Formel / Mitternachtsformel lösen kannst. Woran du solche Gleichungen erkennst, verrate ich dir in diesem Video.

Auch bei solchen Gleichungen musst du die Substitution zum Schluss wieder rückgängig machen (Rücksubstitution).

Winkelfunktionen ineinander umformen (Typ 4)

Besonders knifflig sind Gleichungen, in denen verschiedene Winkelfunktionen gleichzeitig vorkommen. Dann musst du die Winkelfunktionen so ineinander umformen, dass nur noch eine vorkommt. Besonders hilfreich sind dabei der Tangens und der trigonometrische Pythagoras.

Weitere Umformungsmöglichkeiten

In deiner Formelsammlung findest du weitere Möglichkeiten, wie du Winkelausdrücke umformen kannst. Darunter z.B.:

  • Doppelwinkelformeln
  • Additionstheoreme
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