Funktionen

Nullstellen

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Nullstellen spielen bei der Kurvendiskussion eine wichtige Rolle. Dort berechnest du nicht nur die Nullstellen der Funktion f, sondern auch die Nullstellen ihrer ersten und zweiten Ableitung. Denn an diesen Stellen können sich Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) und Wendepunkte von f befinden.

In diesem Video-Tutorial zeige ich dir, wie du Nullstellen berechnest und worauf du bei verschiedenen Typen von Funktionen achten musst.

Was ist eine Nullstelle?

An einer Nullstelle schneidet oder berührt der Graph einer Funktion die x-Achse. In diesem Video siehst du, was damit genau gemeint ist.

Wie berechne ich Nullstellen?

Der Ansatz ist bei jeder Funktion gleich. Du setzt die Funktion Null (also f(x)=0) und löst diese Gleichung. Der genaue Lösungsweg hängt vom Typ der Funktion ab (z.B. ganzrationale Funktion, e-Funktion, Sinusfunktion, ...). Im Folgenden findest du für jeden Typ ein Beispiel.

Einige Funktionen (gebrochenrationale Funktionen, Logarithmus- und Wurzelfunktionen) sind nicht für alle x definiert. Deshalb musst du zum Schluss prüfen, ob die gefundenen Lösungen überhaupt im Definitionsbereich liegen. Wenn nicht, sind es keine Nullstellen!

Ganzrationale Funktionen

Die "normalen" Funktionen heißen eigentlich ganzrationale Funktionen.

Hier findest du eine ausführliche Anleitung, wie man ganzrationale Gleichungen löst.
Hier lernst du, weitere Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen zu untersuchen.

Linearfaktorzerlegung

Mit Hilfe der Nullstellen kannst du eine ganzrationale Funktion in Linearfaktoren zerlegen und dadurch faktorisieren. Umgekehrt kannst du an der Linearfaktorzerlegung auch die Nullstellen ablesen. Hier zeige ich dir, wie das geht.

Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion kann nur dort Nullstellen haben, wo das Zählerpolynom Nullstellen hat. Nullstellen, die gleichzeitig Definitionslücken sind, entfallen jedoch.

Hier findest du eine ausführliche Anleitung, wie man Bruchgleichungen löst.
Hier lernst du, weitere Eigenschaften von gebrochenrationalen Funktionen zu untersuchen.

Exponentialfunktionen

Hier erläutere ich dir an 2 Beispielen, warum Exponentialfunktionen wie f(x)=e^x keine Nullstellen haben und die x-Achse eine waagerechte Asymptote ist.

Hier lernst du, weitere Eigenschaften von Exponentialfunktionen zu untersuchen.

e-Funktionen

Im Gegensatz zu Exponentialfunktionen können e-Funktionen Nullstellen haben. In diesem Video zeige ich dir, wie du sie bestimmst. Die Funktion f(x)=e^x wird weiter oben bei den Exponentialfunktionen behandelt.

Hier findest du eine ausführliche Anleitung, wie man Exponentialgleichungen löst.
Hier lernst du, weitere Eigenschaften von e-Funktionen zu untersuchen.

ln-Funktionen

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen von ln-Funktionen berechnest. Beachte, dass Lösungen entfallen, die nicht im Definitionsbereich liegen!

Hier findest du eine ausführliche Anleitung, wie man Logarithmusgleichungen löst.
Hier lernst du, weitere Eigenschaften von ln-Funktionen zu untersuchen.

Sinus- und Kosinusfunktionen

Da Sinus- und Kosinusfunktionen periodisch sind, haben sie entweder unendlich viele Nullstellen oder gar keine. In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen der einfachen Sinus- und Kosinusfunktion angibst.

Bei komplizierteren Funktionen setzt du f(x)=0. Hier findest du eine ausführliche Anleitung, wie du diese trigonometrische Gleichung löst.
Daran erkennst du, ob der Graph der Sinus- bzw. Kosinusfunktion gestreckt, gestaucht oder verschoben wurde.

Wurzelfunktionen

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen von Wurzelfunktionen berechnest. Mache zum Schluss eine Probe, um Scheinlösungen zu entlarven und sicher zu gehen, dass die Lösungen im Definitionsbereich liegen! Scheinlösungen können sich durchs Quadrieren einschleichen, da das keine Äquivalenzumformung ist.

Hier findest du eine ausführliche Anleitung, wie man Wurzelgleichungen löst.
Hier lernst du, weitere Eigenschaften von Wurzelfunktionen zu untersuchen.

Doppelte Nullstellen

Bei vielen Aufgaben ist es wichtig, zwischen einfachen und doppelten Nullstellen zu unterscheiden, z.B.:

  • um Graphen zu skizzieren
  • um Schaubilder und Funktionsgleichungen einander zuzuordnen
  • bei "Steckbriefaufgaben".

Hier erkläre ich dir den Unterschied zwischen einfachen und doppelten Nullstellen und zeige dir, woran du sie erkennst.

Nullstellen mit dem GTR oder CAS berechnen

Um Nullstellen mit dem GTR oder CAS zu bestimmen, hast du 2 Möglichkeiten:

1. Möglichkeit

Gib die Funktion ein (z.B. y=x^2+x-2) und lasse den Graph anzeigen! Lasse nun die Nullstellen bestimmen!

2. Möglichkeit

Gib die zugehörige Gleichung (in unserem Beispiel x^2+x-2=0) ein und lasse diese vom Taschenrechner lösen!

Hier findest du Tutorials für alle gängigen GTR und CAS.

Iterationsverfahren

Nicht immer ist es möglich, Nullstellen exakt zu berechnen (z.B. bei bestimmten ganzrationalen Funktionen fünften Grades und höher). Mit Hilfe von Iterationsverfahren kann man Nullstellen aber näherungsweise bestimmen. Wichtige Iterationsverfahren sind:

  • Intervallhalbierungsverfahren
  • Newtonverfahren.

Iterationsverfahren kommen in der Regel nur als Wahlthema oder Exkursionsthema dran. Du solltest die Begriffe aber schon mal gehört haben.

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