Gleichungen lösen

Ganzrationale Gleichungen lösen

Die "normalen Gleichungen" heißen eigentlich "ganzrationale Gleichungen" (Beispiele).

In diesem Video-Tutorial lernst du in 10 kurzen Videos, wie du für jede Gleichung das passende Lösungsverfahren findest und sicher anwendest. Danach kannst du Gleichungen lösen durch:

Bereit? Los geht's! 🙂

Was sind ganzrationale Gleichungen?

In diesem Video zeige ich dir Beispiele für ganzrationale Gleichungen und erkläre dir, woran du ganzrationale Gleichungen erkennst.

Beispiele für ganzrationale Gleichungen

Beispiele für ganzrationale Gleichungen

Wie löse ich eine ganzrationale Gleichung?

Bei ganzrationalen Gleichungen gibt es 7 Typen, die du kennen musst. Für jeden Typ gibt es den passenden Lösungsansatz.

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Typ einer Gleichung durch einfache Mustererkennung bestimmst und sofort den passenden Lösungsansatz wählst!

Lösungsansätze für ganzrationale Gleichungen

Lösungsansätze für ganzrationale Gleichungen

In den folgenden Abschnitten rechne ich dir die Beispiele vor.

Gleichung lösen durch Auflösen nach x (Typ 1)

Kommt nur x vor, aber keine höhere Potenz von x, kannst du ganz einfach nach x auflösen.

Auflösen nach x

Gleichung nach x auflösen

Gleichung lösen durch Wurzelziehen (Typ 2)

Kommt nur eine höhere Potenz von x vor wie x^2 oder x^3, löst du die Gleichung durch Wurzelziehen.

Gleichung lösen durch Wurzelziehen Beispiel 1

Gleichung lösen durch Wurzelziehen - Beispiel 1

Gleichung lösen durch Wurzelziehen Beispiel 2

Gleichung lösen durch Wurzelziehen - Beispiel 2

Gleichung lösen mit dem Satz vom Nullprodukt (Typ 3)

Den Satz vom Nullprodukt wendest du an, wenn eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite ein Produkt ist. Der Satz vom Nullprodukt besagt: Ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Gleichung lösen mit dem Satz vom Nullprodukt

Gleichung lösen mit dem Satz vom Nullprodukt

Satz vom Nullprodukt Probe

Probe (nur zum besseren Verständnis)

Gleichung lösen durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt (Typ 4)

Ist eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite eine Summe aus Potenzen von x, klammerst du die kleinste Potenz von x aus. Anschließend sieht deine Gleichung aus wie bei Typ 3 und du kannst wieder den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Gleichung lösen durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt

Gleichung lösen durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt

Gleichung lösen mit der pq-Formel (Typ 5)

Die pq-Formel ist die wichtigste Formel, die du in Mathe lernst! Du benötigst sie, um quadratische Gleichungen zu lösen und bei Anwendungsaufgaben wie der Bestimmung von Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten.

In diesem Video zeige ich dir, wie du p und q richtig abliest, sie in die pq-Formel einsetzt und die Lösungen der quadratischen Gleichung ausrechnest.

Statt der pq-Formel kannst du auch die sogenannte abc-Formel benutzen, die auch noch unter dem Namen Mitternachtsformel bekannt ist. Diese erfüllt den gleichen Zweck. Die meisten Lehrer bevorzugen jedoch die pq-Formel.

Quadratische Gleichung lösen mit der pq-Formel

Quadratische Gleichung lösen mit der pq-Formel

Gleichung lösen mit der abc-Formel / Mitternachtsformel (Typ 5)

Die abc-Formel bzw. Mitternachtsformel ist die wichtigste Formel, die du in Mathe lernst! Manchmal wird sie auch einfach nur Lösungsformel genannt. Du benötigst sie, um quadratische Gleichungen zu lösen und häufig auch bei der Bestimmung von Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten.

In diesem Video zeige ich dir, wie du a, b und c richtig abliest, sie in die abc-Formel einsetzt und die Lösungen der quadratischen Gleichung ausrechnest.

Statt der abc-Formel kannst du auch die sogenannte pq-Formel benutzen. Diese erfüllt den gleichen Zweck, allerdings musst du dabei häufiger mit Brüchen rechnen.

Quadratische Gleichung lösen mit der abc-Formel bzw. Mitternachtsformel

Quadratische Gleichung lösen mit der abc-Formel bzw. Mitternachtsformel

Tipp vor Anwendung der abc-Formel

Tipp vor Anwendung der abc-Formel

Gleichung lösen durch Substitution (Typ 6)

Während es für quadratische Gleichungen die pq-Formel bzw. die abc-Formel / Mitternachtsformel gibt, lassen sich Gleichungen höheren Grades leider nicht mit einer Formel lösen.

Durch einen Trick – die Substitution – lassen sich einige dieser Gleichungen jedoch in quadratische Gleichungen umwandeln. Dazu wird eine Variable geschickt ersetzt. Substituieren bedeutet nämlich Ersetzen.

Um die Lösungen der Ausgangsgleichung zu bestimmen, muss die Substitution zum Schluss allerdings wieder rückgängig gemacht werden (Rücksubstitution). Im folgenden Video zeige ich dir, wie du das alles alleine bewerkstelligst!

Tipp: Die Substitution wird oft im Pflichtteil des Mathe-Abiturs geprüft!

Gleichung lösen durch Substitution

Gleichung lösen durch Substitution

Gleichung lösen durch Polynomdivision (Typ 7)

Polynomdivision machst du bei Gleichungen, die sich mit keinem der übrigen Verfahren lösen lassen. Am häufigsten sind dabei Gleichungen dritten Grades.

Für die Polynomdivision muss eine Lösung der Gleichung bekannt sein. Entweder ist diese gegeben oder du musst sie raten. Mit dieser Lösung führst du die Polynomdivision durch. Das Ergebnis musst du anschließend Null setzen und noch diese neue Gleichung lösen. Die Lösungen dieser neuen Gleichung sind nämlich auch Lösungen der Ausgangsgleichung.

Hinweis: In einigen Bundesländern wird die Polynomdivision NICHT im Mathe-Abi geprüft!

Gleichung lösen durch Polynomdivision

Erste Lösung raten für Polynomdivision

Gleichung lösen durch Polynomdivision Fortsetzung

Polynomdivision

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