Gleichungen lösen

Ganzrationale Gleichungen lösen

In diesem Video-Tutorial zeige ich dir in 10 kurzen Videos

  • was ganzrationale Gleichungen sind
  • und wie du sie löst.

Für alle Fälle, die auftreten können, rechne ich dir ein komplettes Beispiel vor! Anschließend kannst du Gleichungen lösen durch:

  • Auflösen nach x
  • Wurzelziehen
  • Satz vom Nullprodukt
  • Ausklammern und Satz vom Nullprodukt
  • pq-Formel / abc-Formel / Mitternachtsformel
  • Substitution
  • Polynomdivision

Bereit? Los geht's! 🙂

Was sind ganzrationale Gleichungen?

Ganzrationale Gleichungen sind die ersten Gleichungen, die du im Mathe-Unterricht kennengelernt hast. Außerdem sind das die häufigsten und wichtigsten Gleichungen in der Oberstufe! Die Bezeichnung "ganzrational" wird aber selten benutzt. Stattdessen sagt man einfach nur "Gleichung".

In diesem Video zeige ich dir Beispiele für ganzrationale Gleichungen und erkläre dir, woran du ganzrationale Gleichungen erkennst.

Wie löse ich eine ganzrationale Gleichung?

Die meisten Schüler gehen völlig unsystematisch an das Lösen von Gleichungen heran, weil es ihnen niemand richtig gezeigt hat. Bei ganzrationalen Gleichungen gibt es 7 Typen, die du kennen musst. Für jeden Typ gibt es den passenden Lösungsansatz.

In diesem Video stelle ich dir die 7 Typen und die passenden Lösungsansätze vor. In den folgenden Abschnitten rechne ich dir die Beispiele vor.

Gleichung lösen durch Auflösen nach x (Typ 1)

Kommt nur x vor, aber keine höhere Potenz von x, kannst du ganz einfach nach x auflösen.

Gleichung lösen durch Wurzelziehen (Typ 2)

Kommt nur eine höhere Potenz von x vor wie x^2 oder x^3, löst du die Gleichung durch Wurzelziehen.

Gleichung lösen mit dem Satz vom Nullprodukt (Typ 3)

Den Satz vom Nullprodukt wendest du an, wenn eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite ein Produkt ist. Der Satz vom Nullprodukt besagt: Ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Gleichung lösen durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt (Typ 4)

Ist eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite eine Summe aus Potenzen von x, klammerst du die kleinste Potenz von x aus. Anschließend sieht deine Gleichung aus wie bei Typ 3 und du kannst wieder den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Gleichung lösen mit der pq-Formel (Typ 5)

Die pq-Formel ist die wichtigste Formel, die du in Mathe lernst! Du benötigst sie, um quadratische Gleichungen zu lösen und bei Anwendungsaufgaben wie der Bestimmung von Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten.

In diesem Video zeige ich dir, wie du p und q richtig abliest, sie in die pq-Formel einsetzt und die Lösungen der quadratischen Gleichung ausrechnest.

Statt der pq-Formel kannst du auch die sogenannte abc-Formel benutzen, die auch noch unter dem Namen Mitternachtsformel bekannt ist (siehe nächsten Abschnitt). Diese erfüllt den gleichen Zweck. Die meisten Lehrer bevorzugen jedoch die pq-Formel.

Gleichung lösen mit der abc-Formel / Mitternachtsformel (Typ 5)

Die abc-Formel bzw. Mitternachtsformel ist die wichtigste Formel, die du in Mathe lernst! Manchmal wird sie auch einfach nur Lösungsformel genannt. Du benötigst sie, um quadratische Gleichungen zu lösen und häufig auch bei der Bestimmung von Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten.

In diesem Video zeige ich dir, wie du a, b und c richtig abliest, sie in die abc-Formel einsetzt und die Lösungen der quadratischen Gleichung ausrechnest.

Statt der abc-Formel kannst du auch die sogenannte pq-Formel benutzen (siehe vorigen Abschnitt). Diese erfüllt den gleichen Zweck, allerdings musst du dabei häufiger mit Brüchen rechnen.

Gleichung lösen durch Substitution (Typ 6)

Während es für quadratische Gleichungen die pq-Formel bzw. die abc-Formel / Mitternachtsformel gibt, lassen sich Gleichungen höheren Grades leider nicht mit einer Formel lösen. Durch einen Trick – die Substitution – lassen sich einige dieser Gleichungen jedoch in quadratische Gleichungen umwandeln. Dazu wird eine Variable geschickt ersetzt. Substituieren bedeutet nämlich Ersetzen.

Um die Lösungen der Ausgangsgleichung zu bestimmen, muss die Substitution zum Schluss allerdings wieder rückgängig gemacht werden (Rücksubstitution). Im folgenden Video zeige ich dir, wie du das alles alleine bewerkstelligst!

Tipp: Die Substitution wird oft im Pflichtteil des Mathe-Abiturs geprüft!

Gleichung lösen durch Polynomdivision (Typ 7)

Polynomdivision machst du bei Gleichungen, die sich mit keinem der übrigen Verfahren lösen lassen. Am häufigsten sind dabei Gleichungen dritten Grades.

Für die Polynomdivision muss eine Lösung der Gleichung bekannt sein. Entweder ist diese gegeben oder du musst sie raten. Mit dieser Lösung führst du die Polynomdivision durch. Das Ergebnis musst du anschließend Null setzen und noch diese neue Gleichung lösen. Die Lösungen dieser neuen Gleichung sind nämlich auch Lösungen der Ausgangsgleichung.

Hinweis: In einigen Bundesländern wird die Polynomdivision NICHT im Mathe-Abi geprüft!

Das könnte dich auch interessieren: