Integralrechnung

Flächen berechnen

Flächen berechnenInhalt

Mit Hilfe der Integralrechnung kannst du Flächen berechnen.

Einführung

In der Geometrie nutzt man Formeln, um Flächeninhalte von Rechtecken, Dreiecken und Kreisen zu bestimmen. Doch wie lassen sich krummlinige Flächen berechnen, für die es keine Formeln gibt?

Mit Hilfe von Integralen! Wie das möglich ist, siehst du in diesem Video!

Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnen

Bei einer Fläche zwischen dem Graph einer Funktion und der x-Achse musst du unterscheiden, ob die Fläche ober- oder unterhalb der x-Achse liegt oder beides. Davon hängt der genaue Rechenweg ab. In diesem Video erfährst du, worauf du in diesen 3 Fällen achten musst.

1. Fall: Fläche liegt oberhalb der x-Achse

Das ist der einfachste Fall. Hier rechne ich dir ein komplettes Beispiel dazu vor.

2. Fall: Fläche liegt unterhalb der x-Achse

Liegt die Fläche unterhalb der x-Achse, liefert das Integral ein negatives Ergebnis. Ein Flächeninhalt kann aber nicht negativ sein. Hier siehst du, was du in diesem Fall tun musst.

3. Fall: Fläche liegt ober- und unterhalb der x-Achse

In diesem Fall musst du das Integrationsintervall splitten. Andernfalls liefert dir das Integral nicht den Flächeninhalt, sondern die Flächenbilanz.

Fläche zwischen 2 Graphen berechnen

Bei Flächen zwischen 2 Graphen brauchst du nicht darauf zu achten, ob sie ober- oder unterhalb der x-Achse liegen. Dafür musst du aber Schnittstellen der Graphen innerhalb des Integrationsintervalls berücksichtigen.

1. Fall: Graphen schneiden sich nicht innerhalb des Integrationsintervalls

Das ist der einfachste Fall. Hier siehst du eine Beispielrechnung dazu.

2. Fall: Graphen schneiden sich innerhalb des Integrationsintervalls

In diesem Fall musst du das Intervall an der Schnittstelle splitten. Wie das genau geht, siehst du in diesem Video.

Fläche zwischen Graph, Gerade und x-Achse berechnen

Viele Schüler sind erstmal ratlos, wenn sie vor solch einer Aufgabe sitzen. Irgendwie scheint sich die Fläche nicht mit den bekannten Methoden berechnen zu lassen.

Entweder fehlt ein Stück oder es ist ein Stück zu viel. Mit diesem Trick löst du das Problem. 😉

Unbegrenzte Flächen berechnen

Flächen, die ins Unendliche reichen, müssen nicht automatisch unendlich groß werden. Sie können trotzdem einen endlichen Flächeninhalt haben. So findest du heraus, ob das der Fall ist.

 

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