Wahrscheinlichkeitsrechnung

Inhalt

In diesem Video-Tutorial lernst du, was Unabhängigkeit bedeutet und wie du prüfst, ob 2 Ereignisse unabhängig sind.

• Was bedeutet Unabhängigkeit?
• Ereignisse auf Unabhängigkeit untersuchen
• Bedingte Wahrscheinlichkeit bei Unabhängigkeit
• So hängen der Produktsatz und die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit zusammen
• Unabhängigkeit im allgemeinen und mathematischen Sinne

Was bedeutet Unabhängigkeit?

Zwei Ereignisse A und B sind (stochastisch) unabhängig, wenn das Eintreten von A keinen Einfluss auf das Eintreten von B hat und umgekehrt.

Ereignisse auf Unabhängigkeit untersuchen

Um zu prüfen, ob 2 Ereignisse A und B unabhängig sind, rechnest du nach, ob $P(A\cap B)=P(A) \cdot P(B)$ erfüllt ist (Produktsatz).

Bedingte Wahrscheinlichkeit bei Unabhängigkeit

Sind die Ereignisse A und B unabhängig, hat das Eintreten von A keinen Einfluss auf das Eintreten von B. Somit sind die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(B|A)$ und die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ gleich.

Umgekehrt ändert sich durch das Eintreten von B auch nicht die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A: $P(A|B)=P(A)$. In diesem Video lernst du, das für ein konkretes Beispiel zu zeigen.

So hängen der Produktsatz und die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit zusammen

Der Produktsatz, mit dem du 2 Ereignisse auf Unabhängigkeit untersuchst, ergibt sich direkt aus der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit. Das zeige ich dir in diesem Video:

Unabhängigkeit im allgemeinen und mathematischen Sinne

Zwei Ereignisse können stochastisch unabhängig sein, obwohl sie sich in der Realität beeinflussen.

Beispiel:

Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen. Das Ereignis A: "Die Augenzahl im ersten Wurf ist gerade" beeinflusst zwar das Ereignis B: "Die Augensumme beider Würfe ist gerade" - aber nicht im mathematischen Sinne!

Du kannst nämlich nachrechnen, dass trotzdem $P(B|A)=P(B)$ gilt. Dass der erste Wurf eine gerade Zahl ist, macht es somit nicht wahrscheinlicher oder unwahrscheinlicher, dass die Augensumme beider Würfe gerade ist.

Im mathematischen Sinne sind die Ereignisse daher unabhängig.

Ein weiterer Unterschied zwischen allgemeinem und mathematischem Verständnis von Unabhängigkeit ist folgender:

Sind 2 Ereignisse A und B im mathematischen Sinne unabhängig, dann ist A unabhängig von B und B unabhängig von A. Im allgemeinen Sinne ist das oft nicht so. Sondern das Ereignis, das zuerst eintritt, beeinflusst das andere, aber nicht umgekehrt. Somit ist das erste Ereignis unabhängig vom zweiten, aber andersherum nicht.