Wahrscheinlichkeitsrechnung

Sigma-Regeln

Sigma-RegelnInhalt

In diesem Video-Tutorial geht es um die Sigma-Regeln. Diese gelten für Binomialverteilungen und Normalverteilungen.

In der Schule werden sie aber meist nur bei Binomialverteilungen behandelt. Deshalb geht es in diesem Tutorial hauptsächlich darum.

Einführung

In diesem Video lernst du, was die Sigma-Regeln sind und was sie bedeuten. Zudem erkläre ich dir die Begriffe Sicherheitswahrscheinlichkeit und Konfidenzintervall bzw. Vertrauensintervall.

Die Sigma-Regeln lauten:

  • P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68,3%
  • P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95,4%
  • P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 99,7%

Zum Beispiel bedeutet die erste Regel: Die Abweichung der Trefferzahl vom Erwartungswert \mu ist mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 68,3% nicht größer als die Standardabweichung \sigma.

Für eine brauchbare Näherung sollte \sigma >3 sein! Anschaulich ist \sigma ein Maß für die Breite einer Verteilung.

Beispielaufgabe

In dieser Beispielaufgabe lernst du, das 2\sigma-Intervall einer Binomialverteilung zu bestimmen und die Wahrscheinlichkeit dieses Intervalls mit dem Näherungswert der Sigma-Regel zu vergleichen.

Sigma-Regeln bei Normalverteilungen

Die Sigma-Regeln gelten genauso für Normalverteilungen. Da die Zufallsvariable X dabei stetig ist, müssen die Grenzen der Intervalle keine ganzen Zahlen mehr sein. Die Intervallgrenzen werden deshalb nicht mehr nachträglich angepasst!

Die Sigma-Regeln lauten:

  • P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68,3%
  • P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95,4%
  • P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 99,7%
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