Wahrscheinlichkeitsrechnung

Sigma-Regeln

Sigma-RegelnInhalt

In diesem Video-Tutorial geht es um die Sigma-Regeln. Diese gelten für Binomialverteilungen und Normalverteilungen.

In der Schule werden sie aber meist nur bei Binomialverteilungen behandelt. Deshalb geht es in diesem Tutorial hauptsächlich darum.

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Einführung

In diesem Video lernst du, was die Sigma-Regeln sind und was sie bedeuten. Zudem erkläre ich dir die Begriffe Sicherheitswahrscheinlichkeit und Konfidenzintervall bzw. Vertrauensintervall.

Die Sigma-Regeln lauten:

  • P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68,3%
  • P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95,4%
  • P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 99,7%

Zum Beispiel bedeutet die erste Regel: Die Abweichung der Trefferzahl vom Erwartungswert \mu ist mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 68,3% nicht größer als die Standardabweichung \sigma.

Für eine brauchbare Näherung sollte \sigma >3 sein! Anschaulich ist \sigma ein Maß für die Breite einer Verteilung.

Beispielaufgabe

In dieser Beispielaufgabe lernst du, das 2\sigma-Intervall einer Binomialverteilung zu bestimmen und die Wahrscheinlichkeit dieses Intervalls mit dem Näherungswert der Sigma-Regel zu vergleichen.

Sigma-Regeln bei Normalverteilungen

Die Sigma-Regeln gelten genauso für Normalverteilungen. Da die Zufallsvariable X dabei stetig ist, müssen die Grenzen der Intervalle keine ganzen Zahlen mehr sein. Die Intervallgrenzen werden deshalb nicht mehr nachträglich angepasst!

Die Sigma-Regeln lauten:

  • P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68,3%
  • P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95,4%
  • P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 99,7%
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