Wahrscheinlichkeitsrechnung

Normalverteilung

NormalverteilungInhalt

Bei einer Binomialverteilung nimmt die Zufallsvariable X nur ganze Zahlen an (X ist z.B. die Anzahl der Treffer). X ist diskret.

Stetige Zufallsvariablen wie Größe, Gewicht oder Geschwindigkeit können dagegen auch Kommazahlen annehmen. Ein Gewicht nimmt z.B. stetig von 1 kg auf 2 kg zu und nicht sprunghaft.

Solche Zufallsvariablen sind entsprechend stetig verteilt, z.B. normalverteilt. Sie können nicht binomialverteilt sein, da die Binomialverteilung eine diskrete Verteilung ist.

Die Normalverteilung ist die bedeutendste stetige Verteilung! Um diese geht es in diesem Video-Tutorial. 🙂

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Gauß'sche Glockenfunktionen

Gauß'sche Glockenfunktionen sind spezielle e-Funktionen, mit denen man Wahrscheinlichkeiten berechnen kann. In diesem Video zeige ich dir 2 Beispiele dafür.

Was bedeutet "normalverteilt"?

Um Wahrscheinlichkeiten einer stetigen Zufallsvariable X zu berechnen, integriert man über ihre Wahrscheinlichkeitsdichte.

Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte eine Gauß'sche Glockenfunktion, heißt X normalverteilt. Handelt es sich dabei um die Standard-Glockenfunktion mit \mu=0 und \sigma=1 heißt X standardnormalverteilt.

Am Beispiel des Intelligenzquotienten wird dir gleich klar, was das alles bedeutet.

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Um Wahrscheinlichkeiten bei einer Normalverteilung zu berechnen, integrierst du die zugehörige Glockenfunktion.

Das klingt komplizierter als es ist, denn solche Aufgaben löst du komplett mit dem Taschenrechner. Die Funktion dafür heißt meist "normalcdf".

In diesem Video zeige ich dir, wie das geht und was du bei den Integrationsgrenzen beachten musst. 🙂

Binomialverteilungen durch Normalverteilungen annähern

Binomialverteilungen mit einer Standardabweichung \sigma > 3 lassen sich durch Normalverteilungen annähern. Das besagt der Satz von de Moivre-Laplace.

Wahrscheinlichkeiten können dann nicht nur mit der Bernoulli-Formel berechnet werden, sondern auch durch Integration. Ein Vergleich der Ergebnisse zeigt, wie genau die Annäherung ist.

Der Satz von de Moivre-Laplace

Der Satz von de Moivre-Laplace besagt: Ist die Standardabweichung \sigma einer Binomialverteilung größer als 3, lässt sie sich durch eine Normalverteilung annähern.

Wie das geht und was das anschaulich bedeutet, erfährst du in diesem Video.

Beispielaufgabe

So näherst du eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung an und vergleichst die berechneten Wahrscheinlichkeiten.

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