Hypothesen testen (Signifikanztests)

Inhalt

In diesem Video-Tutorial lernst du, Hypothesen zu testen.

Wichtige Begriffe
Unterschied zwischen links-, rechts- und zweiseitigen Tests
Signifikanztests

Du solltest bereits wissen, was eine Binomialverteilung ist.

Wichtige Begriffe

Nullhypothese

Das ist die Hypothese, die überprüft werden soll. Sie beschreibt zum Beispiel:

die bisherigen Verhältnisse
den Grenzwert, den ein Hersteller einhalten muss
ein Werbeversprechen

Die Nullhypothese wird mit $H_0$ bezeichnet. Hier siehst du 3 Beispiele:

$H_0: p=0,4$ (Der Wähleranteil lag bisher bei 40%.)
$H_0: p\leq 0,05$ (Bei höchstens 5% treten Nebenwirkungen auf.)
$H_0: p \geq 0,9$ (Mindestens 90% der Bakterien werden entfernt.)

Alternative (Alternativhypothese)

Hat man Zweifel an der Nullhypothese, glaubt man etwas anderes. Das ist die Alternativhypothese, kurz Alternative. Zum Beispiel:

die Verhältnisse haben sich geändert
der Grenzwert wird überschritten
das Produkt hält nicht, was die Werbung verspricht

Die Alternative wird mit $H_1$ bezeichnet. Hier siehst du 3 Beispiele:

$H_1: p\neq 0,4$ (Der Wähleranteil beträgt nicht mehr 40%.)
$H_1: p > 0,05$ (Bei mehr als 5% treten Nebenwirkungen auf.)
$H_1: p < 0,9$ (Weniger als 90% der Bakterien werden entfernt.)

Fehler

Aufgrund des Ergebnisses einer Stichprobe entscheidet man sich für oder gegen die Nullhypothese (und damit für die Alternative). Der Test ist aber kein Beweis!

Entscheidet man sich gegen die Nullhypothese, kann diese in Wirklichkeit dennoch stimmen. Diese Fehlentscheidung wird als Fehler 1. Art bezeichnet.

Umgekehrt kann es auch sein, dass man die Nullhypothese beibehält, obwohl sie in Wahrheit falsch ist. Das ist der Fehler 2. Art.

Zu den Fehlern gibt es hier ein ausführliches Tutorial.

Irrtumswahrscheinlichkeit

Das ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art. Sie wird durch das Signifikanzniveau begrenzt.

Signifikanzniveau

Durch das Signifikanzniveau begrenzt man die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art. Ist das Signifikanzniveau zum Beispiel $\alpha=5$ %, beträgt die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5%.

Ein Stichprobenergebnis wird als signifikant bezeichnet, wenn es im Ablehnungsbereich liegt und somit dazu führt, dass die Nullhypothese abgelehnt wird.

Entscheidungsregel

Anhand des Signifikanzniveaus lässt sich die Grenze festlegen, ab der die Nullhypothese abgelehnt wird (bei einem zweiseitigen Test gibt es zwei Grenzen).

Das wird als Entscheidungsregel bezeichnet. Zum Beispiel: Wenn mindestens 4 Geräte kaputt sind, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Ablehnungsbereich

Liegt das Stichprobenergebnis in diesem Intervall, wird die Nullhypothese abgelehnt (verworfen).

Zum Beispiel: $A=\{4; 5; ...; 100\}$ . Sind in einer Stichprobe von 100 Geräten 4 bis 100 Geräte (also alle!) kaputt, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Annahmebereich

Das ist das Gegenstück zum Ablehnungsbereich. Liegt das Stichprobenergebnis in diesem Intervall, wird die Nullhypothese beibehalten (akzeptiert).

Zum Beispiel: $B=\{0; 1; 2; 3\}$ . Sind in der Stichprobe 0 (also keins!) bis 3 Geräte kaputt, wird die Nullhypothese beibehalten.

Entscheidung

Anhand des Stichprobenergebnisses trifft man gemäß der Entscheidungsregel eine Entscheidung. Diese lautet entweder "Die Nullhypothese wird verworfen (und stattdessen die Alternative angenommen)" oder "Die Nullhypothese wird beibehalten".

Statt beibehalten sagt man auch akzeptiert und statt verworfen auch abgelehnt.

Unterschied zwischen links-, rechts- und zweiseitigen Tests

Die Bezeichnung bezieht sich auf die Lage des Ablehnungsbereiches $A$ .

$A$ liegt links, wenn $A$ von Null bis zur kritischen Grenze $g$ reicht: $A=\{0; ...; g\}$
$A$ liegt rechts, wenn $A$ von der kritischen Grenze $g$ bis zum Stichprobenumfang $n$ reicht: $A=\{g; ...; n\}$
$A$ ist zweigeteilt, wenn niedrige oder hohe Stichprobenergebnisse zur Ablehnung der Nullhypothese führen: $A=\{0; ...;g_1\} \cup \{g_2; ...; n\}$

Signifikanztests

Nun lernst du, selbst Hypothesen zu testen. 🙂

Als Beispiel geht es um eine Partei, die aus Umfrageergebnissen auf ihren Wähleranteil in der Bevölkerung schließen will.

Ich habe das Szenario jeweils leicht abgewandelt, damit es einmal ein linksseitiger, ein rechtsseitiger bzw. ein zweiseitiger Test wird. (Links- und rechtsseitige Tests sind einseitige Tests.)

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