Wahrscheinlichkeitsrechnung

Geschicktes Abzählen (Kombinatorik)

KombinatorikInhalt

In diesem Video-Tutorial geht es darum, Möglichkeiten geschickt abzuzählen. Das nennt man Kombinatorik. Oft wäre ein Baumdiagramm nämlich viel zu umfangreich.

Möglichkeiten abzählen

Beim Abzählen kommt es darauf an, ob...

  • du mit oder ohne Zurücklegen ziehst
  • die Reihenfolge eine Rolle spielt oder nicht.

Beispiel

Beim Lotto werden die Kugeln nicht zurückgelegt und die Reihenfolge ist egal. Es kommt nur auf die Kombination der Zahlen an.

Spielt die Reihenfolge dagegen eine Rolle, nennt man jede mögliche Anordnung (Permutation) auch Variation.

Der Binomialkoeffizient spielt eine wichtige Rolle bei der Binomialverteilung.

Tipp 1

2 Kugeln gleichzeitig zu ziehen ist wie 2 Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen zu ziehen und die Reihenfolge nicht zu beachten.

Tipp 2

Stelle dir jede Situation wie das Ziehen von Kugeln aus einer Urne vor!

Beispiel

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 Leute auf 8 Zimmer zu verteilen (ohne Doppelbelegung)?

Stell' dir vor, die 8 Zimmerschlüssel liegen in einem Kästchen und du ziehst 5 von ihnen. Du legst keinen Schlüssel zurück, denn sonst könnte es zu einer Doppelbelegung kommen. Es gibt 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4=6720 Möglichkeiten, 5 verschiedene Schlüssel in Reihenfolge zu ziehen.

Es kommt aber nur darauf an, welche Zimmer zum Schluss belegt sind. In welcher Reihenfolge sie belegt wurden, ist egal. Es gibt 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120 Möglichkeiten, 5 Schlüssel in Reihenfolge anzuordnen. Also musst du 6720 durch 120 teilen. Das ergibt 56 Möglichkeiten.

Das entspricht dem Ziehen von 5 Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge (ungeordnet). Wie Lotto "5 aus 8".

Zusatz: Hypergeometrische Verteilung

Bisher kannst du berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 aus 49 Kugeln zu ziehen. Genauso viele verschiedene Tipps kannst du abgeben. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass unter den 6 getippten Zahlen genau 2 Richtige sind, brauchst du die Hypergeometrische Verteilung.

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