Vektorgeometrie

Gegenseitige Lage zweier Ebenen

Inhalt

So findest du heraus, wie zwei Ebenen zueinander liegen. Dabei sind 3 Fälle möglich: Die Ebenen können identisch oder (echt) parallel sein oder sich schneiden. Im letzten Fall ist dann meist auch die Schnittgerade gesucht. Für jeden Fall zeige ich dir ein Beispiel.

Der genaue Lösungsweg hängt von der Form der Ebenengleichungen ab. Deshalb zeige ich dir die entsprechende Rechnung für unterschiedliche Formen (Punkt-Richtungsform, Normalenform und Koordinatenform). So findest du immer eine passende Musterlösung! 🙂

Tipp: Bei jeder Form ist der Rechenweg bis zu einer bestimmten Stelle gleich. Deshalb ist es nicht nötig, alle Videos komplett anzusehen. Am Anfang sage ich dir immer, was du überspringen kannst.

Unten gibt es noch mal eine kurze Zusammenfassung.

So können zwei Ebenen zueinander liegen

In diesem Video siehst du, wie zwei Ebenen zueinander liegen können.

Um die gegenseitige Lage zu untersuchen, stellst du ein lineares Gleichungssystem bzw. eine Gleichung auf und formst diese um. (Nur wenn beide Ebenengleichungen in Normalenform sind, kannst du auch anders vorgehen.)

Dabei ergibt sich entweder eine wahre Aussage (Ebenen identisch), eine falsche Aussage (Ebenen parallel) oder eine Gleichung, in der du eine Unbekannte selbst festlegen kannst (Ebenen schneiden sich).

Bei identischen Ebenen handelt es sich anschaulich um ein und dieselbe Ebene, die durch 2 verschiedene Gleichungen beschrieben wurde.

(Echt) parallele Ebenen haben keine gemeinsamen Punkte. Deshalb hat die Gleichung oder das LGS keine Lösung, sondern führt zu einer falschen Aussage.

Schneiden sich zwei Ebenen, haben sie unendlich viele Punkte gemeinsam, die alle auf einer Geraden liegen - der Schnittgeraden.

Ebenengleichungen in Punkt-Richtungsform

Hierbei setzt du die beiden Ebenen gleich und formst das entstandene Gleichungssystem um.

Beispiel 1: Identische Ebenen

Hier führt das Umformen des Gleichungssystems zu einer wahren Aussage.

Beispiel 2: (Echt) parallele Ebenen

Hier führt das Umformen des Gleichungssystems zu einer falschen Aussage.

Beispiel 3: Sich schneidende Ebenen

Hier führt das Umformen des Gleichungssystems zu einer Gleichung mit 2 Unbekannten. Somit kannst du eine davon selbst festlegen. Damit lässt sich anschließend die Schnittgerade bestimmen.

Ebenengleichungen in Punkt-Richtungs- und Koordinatenform

Ist eine Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform und die andere in Koordinatenform, machst du folgendes: Entnimm der Punkt-Richtungsform die 3 Koordinaten x_1, x_2 und x_3 und setze sie in die Koordinatengleichung ein! Vereinfache diese Gleichung anschließend!

Beispiel 1: Identische Ebenen

Hier führt das Vereinfachen der Gleichung zu einer wahren Aussage.

Beispiel 2: (Echt) parallele Ebenen

Hier führt das Vereinfachen der Gleichung zu einer falschen Aussage.

Beispiel 3: Sich schneidende Ebenen

Hier bleibt eine Gleichung mit 2 Unbekannten übrig. Somit kannst du eine davon selbst festlegen. Damit lässt sich anschließend die Schnittgerade bestimmen.

Ebenengleichungen in Koordinatenform

Sind beide Ebenengleichungen in Koordinatenform, fasst du diese als ein Gleichungssystem auf. Forme das LGS wie gewohnt um!

Beispiel 1: Identische Ebenen

Hier führt das Umformen des Gleichungssystems zu einer wahren Aussage.

Beispiel 2: (Echt) parallele Ebenen

Hier führt das Umformen des Gleichungssystems zu einer falschen Aussage.

Beispiel 3: Sich schneidende Ebenen

Hier führt das Umformen des Gleichungssystems zu einer Gleichung mit 2 Unbekannten. Somit kannst du eine davon selbst festlegen. Damit lässt sich anschließend die Schnittgerade bestimmen.

Ebenengleichungen in Normalenform

Ist nur eine Ebenengleichung in Normalenform, wandle sie in die Koordinatenform um und suche dir oben das passende Verfahren heraus!

Sind beide Ebenengleichungen in Normalenform, kannst du sie ebenfalls in die Koordinatenform umwandeln oder folgendes machen: Prüfe zunächst, ob die Normalenvektoren parallel sind! Falls ja, sind die Ebenen entweder identisch oder parallel. Das findest du mit einer Punktprobe heraus.

Sind die Normalenvektoren nicht parallel, müssen sich die Ebenen schneiden. Sollst du in diesem Fall auch die Schnittgerade bestimmen, musst du die Ebenengleichungen doch noch in die Koordinatenform umwandeln und die komplette Rechnung aus diesem Video aufschreiben.

Beispiel 1: Identische Ebenen

Hier sind die beiden Normalenvektoren parallel und die Punktprobe führt zu einer wahren Aussage.

Beispiel 2: (Echt) parallele Ebenen

Hier sind die beiden Normalenvektoren parallel und damit auch die Ebenen. Da die Punktprobe zu einer falschen Aussage führt, können die Ebenen nicht identisch sein. Somit müssen sie (echt) parallel sein.

Beispiel 3: Sich schneidende Ebenen

Hier sind die beiden Normalenvektoren nicht parallel. Somit haben die Ebenen anschaulich eine unterschiedliche "Neigung" und müssen sich zwangsläufig schneiden.

Die Schnittgerade kannst du damit aber leider nicht bestimmen. Dazu ist eine Umwandlung in Koordinatengleichungen und die Rechnung aus obigem Video nötig.

Zusammenfassung

Wie du die gegenseitige Lage zweier Ebenen untersuchst, hängt von der Form der Ebenengleichungen ab. Es läuft meist darauf hinaus, eine Gleichung oder ein Gleichungssystem aufzustellen und umzuformen.

  • Sind beide Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform, setzt du sie gleich. Das ergibt ein Gleichungssystem.
  • Ist eine Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform und die andere in Koordinatenform, entnimmst du der Punkt-Richtungsform die Koordinaten x_1, x_2 und x_3 und setzt sie in die Koordinatenform ein.
  • Sind beide Ebenengleichungen in Koordinatenform, fasst du sie als lineares Gleichungssystem auf.

Forme die Gleichung oder das LGS um!

  • Führt das zu einer wahren Aussage, sind die Ebenen identisch.
  • Führt das zu einer falschen Aussage, sind die Ebenen (echt) parallel.
  • Führt das zu einer Gleichung mit 2 Unbekannten, schneiden sich die Ebenen. In diesem Fall kannst du eine Unbekannte frei wählen, um anschließend die Schnittgerade zu bestimmen.

Bei der Normalenform ist alles etwas anders. Ist nur eine Ebenengleichung in Normalenform, wandle sie in die Koordinatenform um und suche dir oben das passende Verfahren heraus!

Sind beide Ebenengleichungen in Normalenform, kannst du sie ebenfalls in die Koordinatenform umwandeln oder prüfen, ob die Normalenvektoren parallel sind und ggf. eine Punktprobe machen. Bei identischen und parallelen Ebenen sind die Normalenvektoren parallel. Die Punktprobe führt im ersten Fall zu einer wahren Aussage und im zweiten Fall zu einer falschen.

Sind die Normalenvektoren nicht parallel, schneiden sich die Ebenen. Die Schnittgerade bestimmst du mit Hilfe der entsprechenden Koordinatengleichungen.

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