Vektorgeometrie

Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene

Gegenseitige Lage einer Geraden und einer EbeneInhalt

So findest du heraus, wie eine Gerade und eine Ebene zueinander liegen. Dabei sind 3 Fälle möglich: Die Gerade kann zur Ebene (echt) parallel sein, in der Ebene liegen oder diese schneiden (durchstoßen).

Im letzten Fall ist dann meist auch der Schnittpunkt (Durchstoßpunkt) gesucht.

Für jeden Fall zeige ich dir ein Beispiel.

Der genaue Lösungsweg hängt von der Form der Ebenengleichung ab. Deshalb zeige ich dir die Rechnung einmal für jede Form (Punkt-Richtungsform, Normalenform und Koordinatenform). So findest du immer eine passende Musterlösung! 🙂

Tipp: Bei jeder Form ist der Rechenweg bis zu einer bestimmten Stelle gleich. Deshalb ist es nicht nötig, alle Videos komplett zu schauen. Am Anfang sage ich dir immer, was du überspringen kannst.

Unten gibt es noch mal eine kurze Zusammenfassung.

Außerdem zeige ich dir, wie du untersuchst, ob eine Gerade und eine Ebene orthogonal sind. Das bedeutet, die Gerade schneidet die Ebene senkrecht.

Jetzt geht's aber endlich los! 🙂

So können Gerade und Ebene zueinander liegen

In diesem Video siehst du, wie eine Gerade und eine Ebene zueinander liegen können. Um die gegenseitige Lage zu untersuchen, löst du ein lineares Gleichungssystem bzw. eine Gleichung. An der Anzahl der Lösungen erkennst du die gegenseitige Lage.

Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform

Hierbei setzt du die Ebene und die Gerade gleich und löst dieses Gleichungssystem. An der Anzahl der Lösungen erkennst du die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene.

Beispiel 1: Die Gerade ist parallel zur Ebene

In diesem Fall haben Gerade und Ebene keine gemeinsamen Punkte. Das zugehörige Gleichungssystem hat deshalb keine Lösung (es ist unlösbar).

Beispiel 2: Die Gerade liegt in der Ebene

Alle Punkte der Gerade sind gemeinsame Punkte mit der Ebene. Da eine Gerade unendlich viele Punkte hat, hat das zugehörige Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Beispiel 3: Die Gerade schneidet die Ebene

Gerade und Ebene haben genau einen Punkt gemeinsam: den Schnittpunkt (Durchstoßpunkt). Deshalb hat das zugehörige Gleichungssystem genau eine Lösung. Mit Hilfe dieser Lösung kannst du anschließend den Schnittpunkt berechnen. Wie das geht, siehst du ebenfalls im Video.

Ebenengleichung in Normalenform

Hierbei setzt du die Geradengleichung für \vec{x} in die Ebenengleichung ein und löst diese Gleichung. An der Anzahl der Lösungen erkennst du die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene.

Beispiel 1: Die Gerade ist parallel zur Ebene

In diesem Fall haben Gerade und Ebene keine gemeinsamen Punkte. Deshalb hat die zugehörige Gleichung keine Lösung, sondern führt zu einer falschen Aussage.

Beispiel 2: Die Gerade liegt in der Ebene

Alle Punkte der Gerade sind gemeinsame Punkte mit der Ebene. Deshalb hat die zugehörige Gleichung unendlich viele Lösungen, was du an einer wahren Aussage erkennst.

Beispiel 3: Die Gerade schneidet die Ebene

Gerade und Ebene haben genau einen Punkt gemeinsam: den Schnittpunkt (Durchstoßpunkt). Deshalb hat die zugehörige Gleichung genau eine Lösung. Setzt du diese in die Geradengleichung ein, kannst du den Schnittpunkt berechnen.

Ebenengleichung in Koordinatenform

Jeder Punkt auf der Geraden hat 3 Koordinaten x_1, x_2 und x_3, die du der Geradengleichung entnehmen kannst. Diese setzt du in die Ebenengleichung ein und löst diese Gleichung. An der Anzahl der Lösungen erkennst du die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene.

Beispiel 1: Die Gerade ist parallel zur Ebene

In diesem Fall haben Gerade und Ebene keine gemeinsamen Punkte. Deshalb hat die zugehörige Gleichung keine Lösung, sondern führt zu einer falschen Aussage.

Beispiel 2: Die Gerade liegt in der Ebene

Alle Punkte der Gerade sind gemeinsame Punkte mit der Ebene. Deshalb hat die zugehörige Gleichung unendlich viele Lösungen, was du an einer wahren Aussage erkennst.

Beispiel 3: Die Gerade schneidet die Ebene

Gerade und Ebene haben genau einen Punkt gemeinsam: den Schnittpunkt (Durchstoßpunkt). Deshalb hat die zugehörige Gleichung genau eine Lösung. Setzt du diese in die Geradengleichung ein, kannst du den Schnittpunkt berechnen.

Zusammenfassung

Wie du die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene untersuchst, hängt von der Form der Ebenengleichung ab. Es läuft aber immer darauf hinaus, eine Gleichung oder ein Gleichungssystem zu lösen.

  • Ist die Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform, setzt du die Gerade und die Ebene gleich. Das ergibt ein Gleichungssystem, das du anschließend löst.
  • Ist die Ebenengleichung in Normalenform, setzt du dort die Geradengleichung für \vec{x} ein und löst diese Gleichung.
  • Ist die Ebenengleichung in Koordinatenform, setzt du für x_1, x_2 und x_3 die Koordinaten der Geradenpunkte ein und löst diese Gleichung.

An der Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems bzw. der Gleichung erkennst du die gegenseitige Lage.

  • Gibt es keine Lösung, haben Gerade und Ebene keine gemeinsamen Punkte. Das geht nur, wenn die Gerade (echt) parallel zur Ebene ist.
  • Gibt es unendlich viele Lösungen, muss die Gerade in der Ebene liegen. Alle Punkte der Gerade sind dann gemeinsame Punkte mit der Ebene.
  • Gibt es genau eine Lösung, dann schneidet (durchstößt) die Gerade die Ebene in einem Punkt. Dieser Schnittpunkt ist der einzige gemeinsame Punkt.

Im letzten Fall liefert dir die Lösung des Gleichungssystems bzw. der Gleichung den zugehörigen Geradenparameter. Setzt du diesen in die Geradengleichung ein, kannst du den Schnittpunkt berechnen.

Gerade und Ebene auf Orthogonalität untersuchen

Manchmal wird auch gefragt, ob eine Gerade und eine Ebene orthogonal sind. Falls ja, schneidet die Gerade die Ebene senkrecht. Du kennst damit also auch die gegenseitige Lage (sie schneiden sich) und brauchst diese nicht noch zu untersuchen.

Der genaue Lösungsweg hängt davon ab, ob die Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform oder in Normalenform / Koordinatenform ist. Deshalb zeige ich dir die Rechnung für beide Fälle.

Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform

Ist der Richtungsvektor der Geraden jeweils orthogonal zu den beiden Spannvektoren der Ebene, dann sind Gerade und Ebene orthogonal. Das prüfst du mit dem Skalarprodukt.

Für den Schnittpunkt wäre zusätzlich eine Rechnung wie in diesem Video notwendig (Gleichungssystem aufstellen und lösen; Lösung in die Geradengleichung einsetzen). Achtung: In dem Video ist die Geradengleichung anders! Es geht hier nur allgemein um den Rechenweg.

Ebenengleichung in Normalen- oder Koordinatenform

Sind der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene parallel (linear abhängig), dann sind Gerade und Ebene orthogonal.

Für den Schnittpunkt wäre zusätzlich eine Rechnung wie in diesen Videos (bei Normalenform bzw. bei Koordinatenform) notwendig (Gleichung aufstellen und lösen; Lösung in die Geradengleichung einsetzen). Achtung: In diesen Videos ist die Geradengleichung anders! Es geht hier nur allgemein um den Rechenweg.

Das könnte dich auch interessieren: