Funktionen

Inhalt

Bei einer gebrochenrationalen Funktion steht x im Nenner eines Bruches. Problematisch wird es, wenn der Nenner Null wird. Dann kann der Graph sehr verrückt aussehen.

In diesem Video-Tutorial lernst du alles, was du über gebrochenrationale Funktionen wissen musst.

• Was ist eine gebrochenrationale Funktion?
• Definitionslücken bestimmen
• Nullstellen
• Hebbare Definitionslücke oder Polstelle?
• Zusammenfassung
• Graph mit hebbarer Definitionslücke zeichnen
• Graph mit Polstelle
  • Polstelle auf VZW untersuchen
• Verhalten im Unendlichen
  • Zählergrad < Nennergrad
  • Zählergrad = Nennergrad
  • Zählergrad = Nennergrad + 1
    • Schiefe Asymptote bestimmen
  • Zählergrad > Nennergrad + 1
  • Zusammenfassung
• Graph mit Polstelle skizzieren

Was ist eine gebrochenrationale Funktion?

Hier siehst du typische Beispiele für gebrochenrationale Funktionen.

Definitionslücken bestimmen

Definitionslücken sind Stellen, an denen der Nenner eines Bruchs Null wird. Da das nämlich nicht passieren darf, müssen diese Stellen ermittelt und vom Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

Nullstellen

Eine gebrochenrationale Funktion kann nur dort Nullstellen haben, wo das Zählerpolynom Nullstellen hat. Nullstellen, die gleichzeitig Definitionslücken sind, entfallen jedoch.

Hebbare Definitionslücke oder Polstelle?

Eine Definitionslücke ist entweder eine hebbare Definitionslücke oder eine Polstelle. Bei einer hebbaren Definitionslücke sieht der Graph bis auf eine kleine Besonderheit ganz gewöhnlich aus. An einer Polstelle zeigt er jedoch ein ganz verrücktes Verhalten.

Um den Graph zu skizzieren, musst du also herausfinden, welcher Fall vorliegt. Wie das geht, zeige ich dir hier.

Zusammenfassung

Hier noch mal eine Zusammenfassung zu Nullstellen, hebbaren Definitionslücken und Polstellen:

Graph mit hebbarer Definitionslücke zeichnen

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Funktion mit hebbarer Definitionslücke zeichnest und worauf du dabei achten musst.

Graph mit Polstelle

An einer Polstelle zeigt der Graph ein ziemlich verrücktes Verhalten. In diesem Video zeige ich dir 2 Beispiele und erkläre dir, was mit senkrechter Asymptote und Vorzeichenwechsel (VZW) an der Polstelle gemeint ist.

Polstelle auf VZW untersuchen

Um einen Graph mit Polstelle zu skizzieren, musst du wissen ob an der Polstelle ein Vorzeichenwechsel (VZW) stattfindet oder nicht. In diesem Video zeige ich dir, wie du das herausfindest.

Verhalten im Unendlichen

Wie sich der Graph für $x\to\pm\infty$ verhält, hängt im Wesentlichen vom Grad des Zähler- und des Nennerpolynoms ab (kurz z und n). Dabei unterscheidet man 4 Fälle:

• z < n
• z = n
• z = n+1
• z > n+1

In den folgenden Videos zeige ich dir für jeden Fall ein Beispiel. Darunter findest du noch mal eine Zusammenfassung.

z < n

Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, nähert sich der Graph im Unendlichen immer der x-Achse an.

z = n

Sind Zähler- und Nennergrad gleich, nähert sich der Graph im Unendlichen einer waagerechten Asymptote an. Hier zeige ich dir, wie du diese bestimmst.

z = n + 1

So bestimmst du das Verhalten im Unendlichen, wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad. In diesem Fall gibt es eine schiefe Asymptote.

Schiefe Asymptote bestimmen

So bestimmst du durch Polynomdivision die Gleichung der schiefen Asymptote.

z > n + 1

Der Vollständigkeit halber zeige ich dir ein Beispiel, bei dem der Zählergrad mindestens um 2 größer ist als der Nennergrad. Solche Funktionen wirst du aber nicht selbst untersuchen müssen.

Zusammenfassung

Hier noch mal eine Zusammenfassung zum Verhalten im Unendlichen:

Graph mit Polstelle skizzieren

So gehst du vor, um den Graphen einer gebrochenrationalen Funktion mit Polstelle zu skizzieren.