Vektorgeometrie

Flächeninhalte und Volumina

Flächeninhalte und VoluminaInhalt

Vektoren können Flächen (Parallelogramme, Dreiecke) und Körper (Spate, Pyramiden) aufspannen. In diesem Video-Tutorial lernst du, ihre Flächeninhalte bzw. Volumina zu berechnen.

Vorab solltest du wissen, wie man das Vektorprodukt zweier Vektoren bildet und den Betrag eines Vektors berechnet.

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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Zwei Vektoren spannen ein Parallelogramm auf, sofern sie nicht parallel sind. Der Flächeninhalt dieses Parallelogramms ist der Betrag ihres Vektorprodukts.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Zwei Vektoren spannen ein Dreieck auf, sofern sie nicht parallel sind. Dieses Dreieck ist halb so groß wie das aufgespannte Parallelogramm. Entsprechend ist der einzige Unterschied zu obiger Formel der Faktor \frac{1}{2}.

Volumen eines Spats (schiefes Prisma)

Drei Vektoren spannen einen Spat (schiefes Prisma) auf, sofern nicht zwei von ihnen parallel sind. Um das Volumen dieses Körpers zu berechnen, brauchst du das Vektorprodukt und das Skalarprodukt.

Volumen einer vierseitigen Pyramide

Drei Vektoren spannen eine vierseitige Pyramide auf, sofern nicht zwei von ihnen parallel sind. Das Volumen dieser Pyramide beträgt ein Drittel des Volumens des aufgespannten Spats. Entsprechend ist der einzige Unterschied zu obiger Formel der Faktor \frac{1}{3}.

Volumen einer dreiseitigen Pyramide

Drei Vektoren spannen eine dreiseitige Pyramide auf, sofern nicht zwei von ihnen parallel sind. Das Volumen dieser Pyramide ist halb so groß wie das Volumen der aufgespannten vierseitigen Pyramide.

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