Inhalt
In diesem Video-Tutorial lernst du, Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) zu bestimmen.
- Wichtige Begriffe
- Wie hängen Extrempunkte und Ableitungen zusammen?
- Extrempunkte bestimmen
- Sattelpunkte
- Globale Extremwerte
Wichtige Begriffe
Viele Probleme in Mathe fangen schon damit an, dass du nicht weißt, was mit bestimmten Begriffen gemeint ist. Deshalb lernst du in diesem Video die wichtigsten Begriffe rund um Hoch- und Tiefpunkte.
Wie hängen Extrempunkte und Ableitungen zusammen?
Es reicht nicht aus, nur das Verfahren zu lernen, wie man Extrempunkte bestimmt. Viele Aufgaben kannst du nur lösen, wenn du verstanden hast, wie alles zusammenhängt. Genau das lernst du in diesem Video! So kannst du auch die Schritte bei der Bestimmung von Extrempunkten besser nachvollziehen.
Extrempunkte bestimmen
Im Unterricht hast du bestimmt schon die Begriffe "notwendige Bedingung" und "hinreichende Bedingung" gehört.
Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle von 
ist, dass die erste Ableitung dort eine Nullstelle hat. Das reicht aber nicht aus, denn statt einem Extrempunkt könnte an einer solchen Stelle auch ein Sattelpunkt sein.
Deshalb gibt es noch hinreichende Bedingungen bzw. hinreichende Kriterien. Ist eines davon erfüllt, handelt es sich um eine Extremstelle.
Dazu musst du entweder nachweisen, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle nicht Null ist oder dass die erste Ableitung an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel hat. Jeder Lehrer bevorzugt ein bestimmtes Kriterium, deshalb zeige ich dir beide.
Extrempunkte bestimmen mit der 1. und 2. Ableitung
In diesem Video zeige ich dir, wie du Extrempunkte mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung bestimmst. Dieses Verfahren ist meist praktischer als das andere.
Manchmal lässt sich mit diesem Verfahren jedoch nicht feststellen, ob es sich wirklich um eine Extremstelle handelt. Dann musst du doch noch die erste Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel (VZW) untersuchen.
Extrempunkte bestimmen mit der 1. Ableitung und Untersuchung auf VZW
In diesem Video zeige ich dir, wie du Extrempunkte bestimmst, indem du die erste Ableitung an ihren Nullstellen auf einen Vorzeichenwechsel (VZW) untersuchst. Dieses Verfahren ist dann praktischer, wenn es sehr aufwendig wäre, die zweite Ableitung zu bilden.
Sattelpunkte
Willst du die Extrempunkte eines Graphen bestimmen, stößt du dabei manchmal auf einen Sattelpunkt. Denn genau wie bei einem Extrempunkt ist die Steigung des Graphen in einem Sattelpunkt Null, sodass die erste Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle hat. In diesem Video zeige ich dir, wie du Sattelpunkte von Extrempunkten unterscheiden kannst.
Ein Sattelpunkt ist übrigens ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Statt Sattelpunkt kannst du auch Horizontalwendepunkt oder Terrassenpunkt sagen.
Globale Extremwerte
Die y-Koordinaten der Extrempunkte sind lokale (oder auch relative) Extremwerte. Bei Extremwertaufgaben werden aber meist globale (oder auch absolute) Extremwerte gesucht. Hier lernst du, wie du globale Extrema bestimmst und wann ein lokales Extremum auch ein globales ist.