Wachstum

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum

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Wächst ein Bestand exponentiell, vervielfacht er sich von Mal zu Mal mit demselben Faktor. Zum Beispiel könnte er sich jeden Tag verdoppeln oder jedes Jahr halbieren. Auch Abnahme zählt nämlich zu Wachstum - anders als im allgemeinen Sprachgebrauch!

In diesem Video-Tutorial lernst du, was exponentielles Wachstum genau bedeutet, wie du es nachweist und wie du die Wachstumsfunktion bestimmst.

Exponentielles Wachstum lässt sich übrigens auch mit einer Differentialgleichung beschreiben.

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Einführung in exponentielles Wachstum

Hier zeige ich dir anschaulich, was exponentielles Wachstum bedeutet und wie du es mit einer Folge bzw. einer Funktion beschreiben kannst.

Exponentielles Wachstum mit Folgen oder Funktionen beschreiben

Exponentielles Wachstum lässt sich mit Folgen und mit Funktionen beschreiben. Die Darstellung mit einer Folge wird als diskret bezeichnet. Die Darstellung mit einer Funktion heißt kontinuierlich.

Bei Folgen sind nur "ganze" Zeitschritte möglich. Der Bestand einer Population kann z.B. nur nach einem Jahr, nach 2 Jahren usw. angegeben werden. Stellt man das Wachstum jedoch mit einer Funktion dar, kann der Bestand z.B. auch nach einem halben Jahr berechnet werden.

Eine Folge kann rekursiv oder explizit angegeben werden.

Rekursive Darstellung

Explizite Darstellung

Kontinuierliche Darstellung

Da ein Bestand in der Regel nicht sprunghaft wächst, sondern stetig, ist es sinnvoll, das Wachstum mit einer Funktion zu modellieren. Diese Darstellung wird als kontinuierlich bezeichnet.

Exponentielles Wachstum nachweisen

Zeigt eine Tabelle das Wachstum eines Bestandes, kannst du wie folgt nachweisen, dass exponentielles Wachstum vorliegt:

Exponentiellen Zerfall nachweisen

Anders als im allgemeinen Sprachgebrauch, gilt Zerfall ebenfalls als Wachstum. Der Unterschied ist am Wachstumsfaktor a zu erkennen. In diesem Video lernst du, nachzuweisen, dass ein Bestand exponentiell zerfällt.

Wachstumsfunktion bestimmen

Eine Funktion, die das Wachstum beschreibt, heißt Wachstumsfunktion oder auch Wachstumsgesetz. Jetzt lernst du, solch eine Wachstumsfunktion aus den gegebenen Daten zu ermitteln.

Wachstumsfunktion bei exponentiellem Wachstum bestimmen

Zeigt eine Tabelle das exponentielle Wachstum eines Bestandes, kannst du die Wachstumsfunktion folgendermaßen bestimmen:

Zerfallsfunktion bei exponentiellem Zerfall bestimmen

Da Zerfall bzw. Abnahme ebenfalls zu Wachstum zählen, bestimmst du die Zerfallsfunktion auf die gleiche Weise wie eine Wachstumsfunktion. Die Zerfallsfunktion kann daher auch als Wachstumsfunktion bezeichnet werden.

Wachstumsfunktion aus 2 Datenpunkten bestimmen (Textaufgaben)

Bei Textaufgaben ohne zusätzliche Tabellen musst du die relevanten Daten aus dem Text entnehmen. Hier siehst du beispielhaft, wie du Textaufgaben löst.

Wachstumsfunktion bei prozentualer Zu- oder Abnahme bestimmen

Prozentuale Zu- oder Abnahme lässt sich wie exponentielles Wachstum modellieren.

Verdoppelungszeit berechnen

Nach welcher Zeit hat sich der Anfangsbestand verdoppelt? So berechnest du die Verdoppelungszeit:

Hinweis: Die Verdoppelungszeit gilt nicht nur für den Anfangsbestand! Verdoppelt sich der Anfangsbestand zum Beispiel nach 3 Jahren, verdoppelt sich der Bestand immer wieder alle 3 Jahre.

Halbwertszeit berechnen

Nach welcher Zeit hat sich ein Anfangsbestand halbiert? Oder wie lange dauert es, bis nur noch 50% eines radioaktiven Stoffes vorhanden sind? Hier ist jeweils die Halbwertszeit gesucht, die du wie folgt berechnest:

Hinweis: Die Halbwertszeit gilt nicht nur für den Anfangsbestand! Halbiert sich der Anfangsbestand zum Beispiel nach 3 Jahren, halbiert sich der Bestand immer wieder alle 3 Jahre.

Zeit umrechnen in der Wachstumsfunktion

Angenommen, eine Funktion beschreibt das Wachstum von Bakterien mit t (bzw. x) in Minuten. Wie muss die Funktion dann aussehen, wenn t (bzw. x) in Stunden oder Sekunden ist?

 

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