Vektorgeometrie

Abstände berechnen

Abstände berechnenInhalt

In diesem Video-Tutorial lernst du, Abstände zu berechnen. Dabei zeige ich dir nicht nur den "Klassiker", wie du den Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmst. Bei Bedarf findest du hier Musterlösungen für alle möglichen Abstandsaufgaben. 🙂

Manchmal gibt es auch mehrere Wege, den Abstand zu berechnen. Nimm dann das Verfahren, das auch dein Lehrer benutzt!

Zum Schluss zeige ich dir noch, wie du "umgekehrte Abstandsaufgaben" löst. In solchen Aufgaben sind Punkte gesucht, die einen vorgegebenen Abstand zu einem bestimmten Punkt haben.

Vorab solltest du wissen, wie man den Verbindungsvektor zweier Punkte angibt und den Betrag eines Vektors berechnet.

Abstand zweier Punkte

Der Abstand zweier Punkte ist der Betrag ihres Verbindungsvektors.

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist die kleinste Entfernung zur Ebene. Ist die Ebenengleichung in HESSE-Form, gibt es eine einfache Formel, um den Abstand zu berechnen. Die Normalenform und die Koordinatenform lässt sich leicht in die HESSE-Form umwandeln.

Eine andere Möglichkeit, den Abstand zu bestimmen, ist mit Hilfe der Lotgeraden. Das ist etwas aufwendiger.

Mit einer Formel

Aus der HESSE-Form der Ebenengleichung ergibt sich eine einfache Formel, in die du nur noch die Koordinaten des Punktes einzusetzen brauchst.

Hier folgen 2 Videos zu dieser Methode: Einmal mit einer Ebenengleichung in Normalenform und einmal in Koordinatenform. In den Videos siehst du auch, wie du die Ebenengleichungen zunächst in die HESSE-Form umwandelst.

Formel für Normalenform

Formel für Koordinatenform

Mit Hilfe der Lotgeraden

Die Lotgerade steht senkrecht auf der Ebene und verläuft durch den gegebenen Punkt R. Der Schnittpunkt der Lotgerade mit der Ebene heißt Lotfußpunkt.

Der Abstand von R zum Lotfußpunkt entspricht dem Abstand von R zur Ebene. Letztendlich berechnest du also den Abstand zweier Punkte.

Hier folgen 2 Videos zu dieser Methode: Einmal mit einer Ebenengleichung in Normalenform und einmal in Koordinatenform.

Lotgeraden-Methode für Normalenform

Lotgeraden-Methode für Koordinatenform

Abstand paralleler Ebenen

Der Abstand von 2 parallelen Ebenen E und F ist der Abstand eines beliebigen Punktes der Ebene E von der Ebene F.

Abstand einer Ebene und einer parallelen Geraden

Ihr Abstand ist der Abstand eines beliebigen Punktes auf der Gerade von der Ebene.

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die kleinste Entfernung zur Gerade. Um diese zu bestimmen, hast du 2 Möglichkeiten: Die Orthogonalitätsbedingung oder eine Hilfsebene.

Mit der Orthogonalitätsbedingung

Hierbei fällst du das Lot des Punktes R auf die Gerade und berechnest den Abstand von R zum Lotfußpunkt. Letztendlich berechnest du also den Abstand zweier Punkte.

Um den Lotfußpunkt bestimmen zu können, brauchst du die sogenannte Orthogonalitätsbedingung: Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren Null, sind sie zueinander orthogonal.

Mit einer Hilfsebene

Hierbei bastelst du dir eine Hilfsebene, die senkrecht zur Gerade ist und den gegebenen Punkt R enthält. Dann bestimmst du den Schnittpunkt von Hilfsebene und Gerade (Lotfußpunkt).

Der Abstand von R zum Lotfußpunkt entspricht dem Abstand von R zur Gerade. Letztendlich berechnest du also den Abstand zweier Punkte.

Abstand paralleler Geraden

Der Abstand von 2 parallelen Geraden g und h ist der Abstand eines beliebigen Punktes auf g von der Geraden h.

Abstand windschiefer Geraden

Der Abstand von 2 windschiefen Geraden g und h ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von g und den Punkten von h.

Um diese zu bestimmen, hast du 2 Möglichkeiten: Die Orthogonalitätsbedingung oder eine Hilfsebene. In diesem Video beschreibe ich dir beide Methoden.

Mit der Orthogonalitätsbedingung

Bei windschiefen Geraden gibt es einen Punkt auf der Geraden g und einen Punkt auf der Geraden h, deren Abstand zueinander minimal ist. Dieser minimale Abstand ist gleichzeitig der Abstand der Geraden. Du weißt aber leider nicht, wo diese Punkte liegen.

Du weißt nur, dass der Vektor, der die beiden Punkte verbindet, orthogonal zu den Richtungsvektoren der Geraden sein muss (Orthogonalitätsbedingung). Somit muss das Skalarprodukt jeweils Null sein.

Damit kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und der Abstand dieser beiden Punkte berechnen.

Mit einer Hilfsebene

Hierbei bastelst du dir eine Hilfsebene, die die Gerade g enthält und parallel zur Geraden h ist. Der Abstand dieser Ebene zum Aufpunkt der Gerade h entspricht dem Abstand der windschiefen Geraden. Diesen Abstand berechnest du mit Hilfe einer einfachen Formel wie oben gezeigt.

Zuvor musst du die Gleichung der Hilfsebene aber in Normalenform umwandeln. Den Normalenvektor dafür kannst du mit dem Vektorprodukt oder dem Skalarprodukt bestimmen.

"Umgekehrte" Abstandsaufgaben

Bei solchen Aufgaben ist der Abstand vorgegeben und gesucht sind Punkte, die diesen Abstand zu einem anderen Punkt haben. Am einfachsten geht das mit einem Einheitsvektor.

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